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Initiation à la dynamique de système : simulation du comportement d’une nappe phréatique

Introduction : systémique, système, modèle

Systémique : définition

• nouvelle grille d’intelligibilité du monde
• transdicipline

Définition de la Revue internationale de systémique : « Nouvelle discipline, la systémique regroupe les démarches pratiques, théoriques et méthodologiques relatives à l’étude de ce qui est trop complexe pour être abordé de façon réductionniste ».

Qu’est-ce qu’un modèle ?

D’après (Hagget, 1973), un modèle est une "représentation schématique de la réalité, élaborée en vue de la comprendre et de la faire comprendre".

La modélisation suppose donc une prise de recul par rapport à un objet d’étude.

Qu’est-ce qu’un système ?

Un système est une représentation de la réalité, d’un objet d’étude : la démarche systémique repose donc sur la construction de modèles.

Il est possible d’aborder un objet d’étude sous différents angles, ce qui explique qu’en systémique, on accepte des représentations multiples d’un même objet d’étude. L’objectivité d’un modèle n’est jamais affirmée. Toute le démarche du modélisateur doit donc être spécifiée dans l’étude.

Comment définir plus précisément un système ?

Des définitions différentes selon les auteurs :

• De Rosnay : « Ensemble d’éléments en interaction ». Problème de cette définition : les éléments sont davantages mis en avant que leurs interactions.

• Le Moigne : « Représentation d’un phénomène perçu comme complexe et identifiable par ses projets dans un environnement actif dans lequel il fonctionne et dans lequel il se transforme ». Le mot « projet » pose problème car il revient à finaliser le système, donc à l’écarter des systèmes physiques. L’intérêt de cette définition est que le temps est explicitement pris en compte du temps.

• Uvietta & Le Berre : « Entité complexe organisée, évoluant dans un environnement en fonction des interactions qui existent entre ses composants ». Dans cette défintion, on s’intéresse à l’environnement : on n’isole pas le domaine d’étude du monde qui l’entoure. L’environnement est en outre considéré comme un élément actif.

Différence entre modèle analytique et modèle systémique

L’approche analytique est réductionniste car elle prend en compte un nombre restreint de phénomènes, or le réel résulte d’interrelations entre de nombreux phénomènes de nature différente. L’approche systémique, elle, est de nature GLOBALE. On considère qu’un objet d’étude est une entité : il n’est pas fractionnable.

• Approche analytique : on étudie d’abord les éléments de l’objet d’étude sans se soucier de leurs interrelations.

• Approche systémique : le tout n’est pas égal à (est plus que) la somme des parties.

Questionnement :

• analytique : « pourquoi est-ce comme ça ? »
• systémique : « comment cela fonctionne ? »

Dans le cadre de l’approche systémique, les problèmes sont posés en termes de fonctionnement. Ceci implique de prendre explicitement en compte le temps, la DYNAMIQUE des systèmes étudiés. L’objectif est de tenter de comprendre le fonctionnement de l’objet d’étude, ce qui nécessite de mettre en évidence sa STRUCTURE (= les interactions entre les éléments du système) : les modèles systémiques explicitent la structure du phénomène étudié.

Ainsi en systémique :

DONC, un changement dans la structure d’un système, c’est-à-dire dans les interactions, dans la nature des relations entre les éléments (exemple : on change le sens d’un flèche), revient à un changement de système. On n’a plus le même système qu’auparavant. Remarque : dans un système, seules les relations essentielles sont prises en compte. Enlever une flèche revient à changer le système.

Complexité

L’objet d’étude de la systémique est la complexité. En systémique, la plus ou moins grande complexité d’un système résulte de la plus ou moins grande diversité dans les composants ET dans les interactions entre les composants du système.

Remarque : moins il y a d’interactions dans un système, plus il est fragile.

Causalité

• Approche analytique

Causalité linéaire, historique ou due aux phénomènes naturels. La causalité se représente sous la forme d’un arbre (arbre de causalité). Il s’agit d’une causalité récursive : on peut établir des lois. Question : où s’arrêter dans la recherche des causes ?

• Approche systémique

Causalité circulaire ou boucles de causalité reliant les différents phénomènes de l’objet d’étude. Remarque : comme on n’a pas la même rigidité que dans le premier cas (ce qui est par ailleurs un avantage), il est plus difficile d’établir des lois. On perd donc en prédiction, mais on gagne en souplesse.

Dynamique

Elle naît de et repose sur l’interaction entre les éléments du système. L’existence d’une boucle de rétroaction (feedback) entre deux éléments A et B signifie que A a une action sur B, qui exerce en retour une action sur A. A travers le temps, on doit se représenter une boucle de rétroaction non comme un cercle, mais comme une spirale (Durand-Dastès, 1999 et 2001).

En guise de synthèse...

 On s’intéresse avant tout non aux éléments eux-mêmes, mais aux relations entre les éléments.
 On n’est plus dans une démarche de recherche, d’identification des causes à l’origine d’un phénomène, mais d’identification des interactions (boucles de rétroaction) qui permettent de comprendre l’évolution de ce phénomène dans le temps. La question centrale est : comment cela fonctionne ?
 On n’isole pas le domaine d’étude du monde qui l’entoure. L’environnement est considéré comme un élément actif.
 Approche basée sur la construction de modèles.

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MODELE VAR

Impact d’aménagements sur le comportement de la nappe phréatique de la plaine alluviale du Var

D’après Maryse GUIGO et Maryvonne Le BERRE Ecrire un modèle de simulation systémique (Impact des aménagements sur le comportement de la nappe phréatique d’une plaine alluviale), coll. Grenoble Sciences, UFR de géographie, Université Joseph Fourrier, Grenoble

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Présentation du bassin versant du Var

Objectif du travail : construction pas à pas de 3 modèles correspondant à 3 situations typiques de l’évolution générale enregistrée depuis une cinquantaine d’années de la nappe phréatique de la plaine alluviale du Var. Ces 3 modèles permettant de représenter 3 fonctionnements :

• 1/ Le fleuve et sa plaine alluviale à l’état naturel, une situation d’équilibre dynamique de la nappe phréatique (FLEUVE)
• 2/Le fleuve soumis aux pompages et à l’extraction intensive de matériaux (alluvions) : la rupture de l’équilibre dynamique (POMPE)
• 3/La construction de barrages : un essai pour retrouver un état d’équilibre dynamique (RECHARGE).

Outil utilisé : la dynamique de système, mise au point par J.W. Forrester.

1/ Le modèle FLEUVE

Modélisation du fonctionnement (remplissage et vidage) de la nappe phréatique de la plaine alluviale du Var à l’état naturel : une situation d’équilibre dynamique.

Qu’est-ce qu’une situation d’équilibre dynamique ?

 Equilibre dynamique : les résultats oscillent dans une fourchette de valeurs.

But recherché à travers la réalisation du modèle FLEUVE : déterminer les variations de la hauteur d’eau dans la nappe phréatique au cours du temps. On cherche donc à obtenir des courbes décrivant l’évolution de la hauteur d’eau dans la nappe phréatique au cours du temps.

Ce que l’on va faire : suivre toutes les étapes de la construction d’un modèle systémique, formalisé grâce à la dynamique de système :

• énoncé des hypothèses,
• graphe sagittal (« boîtes » et interactions),
• diagramme stock-flux (propre à la dynamique de système), écriture des équations mathématiques (uniquement avec des différences et des multiplications !),
• analyse du programme informatique qui permet d’obtenir et de visualiser les résultats du modèle.

Description du fonctionnement du système

La nappe phréatique dépend, pour son alimentation, des infiltrations naturelles et pour son vidage, de l’écoulement par des sources situées sur le versant des collines qui la bordent. Les infiltrations naturelles varient essentiellement en fonction des précipitations (pluies de régime méditerranéen). Donc, les variations de niveau de la nappe phréatique sont très fortement corrélées au régime des pluies. Lors des périodes humides, la nappe phréatique se recharge et durant les périodes sèches, elle restitue à l’écoulement et à l’évapotranspiration une partie de ses réserves. Le fleuve, par son débit, draine directement vers la mer la part des précipitations qui ne s’infiltrent pas.

Autrement dit, la nappe phréatique constitue un réservoir, alimenté par les pluies en période d’abondance (humide), et drainée vers le fleuve, via les sources, en période de sécheresse.

On considère donc 3 phénomènes à modéliser : nappe, alimentation, écoulement

• Nappe : une quantité d’eau
• Flux d’entrée : alimentation
• Flux de sortie : écoulement

Première étape : les hypothèses

La nappe phréatique dépend, pour son alimentation, des infiltrations naturelles et pour son vidage, de l’écoulement par des sources. Elle fonctionne comme un réservoir. Les infiltrations dépendent des précipitations, dont elles ne représentent cependant qu’une partie ; elles sont un bon indicateur de tous les apports à la nappe. L’écoulement des sources dépend du stock d’eau de la nappe phréatique. Lorsque le niveau de la nappe augmente, l’écoulement augmente ; au-dessus d’un certain seuil, l’écoulement est maximum et reste constant.

Deuxième étape : la structure du modèle FLEUVE

Troisième étape : élaboration du diagramme stock-flux

Remarques :

• La formalisation en dynamique de système est basée au départ sur un vocabulaire graphique.
• Exemple de variable de stock (= ce qu’on cherche à connaître) : la population des quartiers d’une ville
• Exemple de fonction tabulée : la table des précipitations en mm en fonction du temps (i.e. pour chaque mois d’une année).

Maintenant, voici quelques informations qui vous seront utiles si vous essayez de construire seuls le diagramme stock-flux du modèle FLEUVE :

• la variable de stock "hauteur nappe" doit être exprimée en mm de hauteur de nappe
• données disponibles :

... Et maintenant, voici le diagramme stock-flux du modèle FLEUVE...

Remarquez la transformation de la boucle de rétroaction entre les 2 étapes (modèle structurel puis diagramme stock-flux).

Commentaire du diagramme

 Variable d’état

Hauteur nappe : en tant que réservoir qui se vide et qui se remplit, elle a été choisie comme stock. Concernant le choix de l’unité de mesure appropriée pour l’exprimer, on a raisonné de la façon suivante : en raison de la très grande difficulté à mesurer le volume d’eau de la nappe, on a retenu sa hauteur, exprimée en mm.

 Variables de flux

Elles sont nécessairement exprimées dans la même unité de mesure que la variable d’état, puisqu’elles agissent directement sur elles.

• INFILTRATION : variation de hauteur de la nappe due à l’infiltration des pluies dans le sol (exprimée, comme le stock , en mm).
• DRAINAGE : variation de hauteur de la nappe due au drainage par les sources (exprimée, comme le stock , en mm).

 Tables

• PLUIE : hauteur des précipitations mois par mois pour l’ensemble de la période de simulation.
• SOURCES : valeurs des sorties des sources en fonction de la hauteur de la nappe.

 Paramètres

• k1... indique la part des précipitations qui s’infiltrent dans le sol pour alimenter la nappe (en % du total des précipitations).
• m1... permet de transformer les précipitations en hauteur de nappe (transforme les mm de précipitations en mm de hauteur de nappe). Il s’agit donc d’un coefficient correcteur nécessaire au changement d’unité de mesure.

Commentaires concernant le passage de la définition de la structure du système FLEUVE (graphe sagittal) au diagramme stock-flux

A l’amont de la variable de stock...

Les infiltrations dépendent de 2 éléments :

• la quantité de précipitations
• la part des précipitations qui s’infiltrent effectivement dans le sol (flèche “alimente” du modèle structurel)

Pour construire le diagramme strock-flux, il a été nécessaire de transformer les mm de précipitations infiltrées en mm de hauteur de nappe. Sachant cela, sur le diagramme stock-flux, 3 éléments (et donc 3 flèches) doivent aboutir à la variable de flux INFILTRATION : une table PLUIE et 2 paramètres k1 et m1.

A l’aval de la variable de stock...

• Structure du système : les sources vident la nappe. D’où sur le diagramme stock-flux, variable de flux en sortie appelée DRAINAGE.
• Structure du système : la nappe alimente les sources. D’où sur le diagramme stock-flux, une flèche partant de la variable de stock HAUTEUR NAPPE. De combien la nappe alimente-elle les sources ? On le sait par la figure 3. Cette figure représente une courbe, que l’on peut très facilement transformer en table (pour une hauteur de nappe de 3000 mm, sortie par les sources de 30 mm (environ)). C’est pourquoi on a choisi de représenter la relation entre la quantité d’eau dans la nappe et la quantité d’eau sortant par les sources par une table sources sur le diagramme stock-flux. La quantité d’eau qui arrive aux sources (flèche arrivant à la table sources) correspond à la quantité d’eau qui sort de la nappe (flèche partant de la table sources et arrivant à la variable de flux drainage). Le drainage de la nappe par les sources dépend donc de la quantité d’eau sortant des sources, qui dépend elle-même de la hauteur de la nappe.

Remarque : dans un certain sens, la table SOURCES est « plus synthétique » que la table PLUIE. D’après vous, pourquoi ?

Car le seuil de hauteur de nappe à partir duquel l’écoulement par les sources est maximum et reste constant (cf. hypothèses) est intégré dans la table. En outre, les mm sont des mm de hauteur de nappe. C’est-à-dire que la table indique de combien de mm la nappe diminue (en raison de l’écoulement par les sources) en fonction de la hauteur de nappe en mm. En quelque sorte, le coefficient correcteur, nécessaire pour rester dans la même unité de mesure que la variable de stock hauteur nappe, est inclus dans la table.

Quatrième étape de la construction du modèle FLEUVE : formalisation mathématique

... Autrement dit, écriture des équations qui permettront de calculer à chaque instant la hauteur d’eau dans la nappe.

 Pour la variable d’état HAUTEUR NAPPE

En dynamique de système, la formalisation mathématique est basée sur l’utilisation d’équations différentielles. C’est donc une équation différentielle qui va nous permettre de calculer l’évolution de la hauteur de la nappe.

d(HAUTEUR NAPPE)/dt = flux d’entrée - flux de sortie

soit

HAUTEUR NAPPE’ = INFILTRATION - DRAINAGE

 Pour la variable de flux INFILTRATION

INFILTRATION = PLUIE . k1 . m1

Remarques :

• Une des caractéristique du formalisme de la dynamique de système est l’effet multiplicateur des paramètres.
• A propos de la table PLUIE : la durée de la période de simulation et le choix de l’unité de temps dépend du but recherché par le modélisateur. Dans le cas étudié, il conviendrait donc de justifier le choix de 2 ans pour la période de simulation et de la périodicité de 1 mois.

 Pour la variable de flux DRAINAGE

DRAINAGE = SOURCES (HAUTEUR NAPPE)

Exemple : on sait que :

• sources(3000) = 30
• sources(3500) = 35

Une différence de 500 mm de hauteur de nappe correspond à une différence de 5 mm du flux de sortie (drainage de la nappe par les sources). On peut donc calculer le flux de sortie pour une hauteur de nappe de 3001mm. A une différence de 1/500 mm de hauteur de nappe correspond une différence de (1/500) . 5 = 0,01 mm de flux de sortie.

Remarque à propos de la table SOURCE : elle contient un petit nombre de valeurs, mais l’important, dans le cadre d’un modèle en dynamique de système, c’est la forme des relations (donc ici, la forme de la courbe).

Cinquième étape : quantification des paramètres

 k1 (part de précipitations qui s’infiltrent et qui contribuent à alimenter la nappe) a été estimé à 50 %. Donc k1 = 0,5
 m1 (coefficient de changement d’unité de mesure) a été estimé à 1,32. Il signifie que 100 mm de précipitations infiltrées sur la plaine alluviale correspondent à une augmentation du niveau de la nappe de 132 mm.

Remarque : quelle serait une autre possibilité pour quantifier des paramètres quand on ne connaît pas du tout au départ leurs valeurs ? Réponse : par des simulations pour calibrer le modèle.

Sixième étape : écriture du programme informatique

Septième étape : analyse des résultats de simulation

Quelles possibilités de simulation ? Dans quels buts ?

• Calibrage et validation du modèle.
• Exploration de futurs possibles (tests de scénarios). Remarque : pour construire des scénarios, une des possibilités est de remplir les tables avec des données fictives correspondant à différents scénarios (exemple : plusieurs années de sécheresse).

Maintenant, on veut simuler le fonctionnement du système modélisé sur 13 années.

Comment faire ? On remplace la table pluie 24 mois, par une table pluie 156 mois correspondant à 13 années de mesure de la pluie.

Analyse de cette table pluie 156 mois : on peut identifier des périodes sèches et des périodes pluvieuses.

Analyse des résultats de simulation sur 13 années : la courbe décrit la situation d’équilibre de la nappe autour de la valeur 4000-4100 mm. Selon l’importance des séquences pluvieuses ou sèches, les oscillations de la réserve en eau se font entre 4400 et 3700 mm. On note une bonne reconstitution de la réserve en eau de la nappe au moment de la grande période pluvieuse (t = 82 à t = 98) ; en revanche, un mois fortement pluvieux (t = 143) dans une période de relative sécheresse (fin de la période de simulation) ne suffit pas à renverser la tendance à la baisse de la réserve.

Remarques à propos des variables de flux

• La manière de représenter les variables de flux sur le diagramme stock-flux représente en fait symboliquement une vanne qui module l’intensité du flux.

• Tous les modèles systémiques ne suivent pas cette logique de stock et de flux.

2/ Le modèle POMPE

A travers ce modèle POMPE, on veut tenir compte des phénomènes suivants :

• L’agglomération de Nice est passée de 80 000 habitants en 1955 à 700 000 habitants ne 1985. L’eau nécessaire à l’alimentation de la population provient essentiellement du Var et de sa nappe phréatique.
• Des exploitations agricoles irriguées (cultures maraîchères et florales) occupent la plaine alluviale du Var et ses bordures. Les pompages en eau nécessaires à ces cultures se font directement dans la nappe.
• Des constructions et des aménagements divers ont entraîné l’extraction de matériaux dans la nappe alluviale, pour le béton et le ballast. Ces extractions font diminuer le volume des alluvions, donc le volume du réceptacle de la nappe phréatique, et corrélativement, le niveau de la nappe elle-même.

Quelles nouvelles hypothèses doit-on rajouter à celles qui ont présidé à la réalisation du modèle FLEUVE ?

• Le pompage de l’eau à des fins agricoles et urbaines fait baisser le niveau de la nappe. Il varie en fonction du temps.
• Les extractions de matériaux dans le lit du fleuve font baisser le niveau de la nappe. Elles varient en fonction du temps.

 Variables de flux

• POMPAGE : variation de hauteur de la nappe due aux pompages
• EXTRACTION : variation de hauteur de nappe due aux extractions

 Tables

• extra : volume mensuel des extractions en milliers de tonnes (table en fonction du temps). Le volume des extractions étant connu annuellement et l’unité de temps de référence étant le mois, le volume annuel a été arbitrairement divisé par 12.
• pompe : volume mensuel des pompages d’eau dans la nappe en milliers de m3 (table en fonction du temps).

 Paramètres

• m2 : paramètre de transformation des milliers de tonnes de matériaux extraites en mm de hauteur de nappe. Pour l’évaluer, on est pari de l’observation suivante : 1000 t de matériaux extraits font baisser la nappe d’environ 0.35 mm. D’où la valeur 0.35 affectée au paramètre m2.
• m3 : 1 millier de m3 d’eau pompée fait baisser la nappe de 10 mm. D’où la valeur 10 affectée au paramètre m3.

Formalisation mathématique

HAUTEUR NAPPE’ = INFILTRATION - DRAINAGE - POMPAGE - EXTRACTION

EXTRACTION = extra(t). m2

POMPAGE = pompe(t) . m3

Résultats de simulation

3/ Le modèle RECHARGE

Sa description n’est pas encore faite...

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Bibliographie

Revue Internationale de Systémique

ATLAN H. (1979). Entre le cristal et la fumée : essai sur l’organisme vivant, Paris, Édition du Seuil, 286 p.

DURAND-DASTES F. (1999). "Jamais deux fois... Ou : de quelques précautions à prendre avec le temps", Travaux de l’Institut Géographique de Reims, pp. 5-23.

DURAND-DASTES F. (2001). "Le temps, la géographie et ses modèles", Bulletin de la Société géographie de Liège, 40, vol. 1, pp 5-13.

GUIGO M., Le BERRE M. Ecrire un modèle de simulation systémique (Impact des aménagements sur le comportement de la nappe phréatique d’une plaine alluviale), coll. Grenoble Sciences, UFR de géographie, Université Joseph Fourrier, Grenoble

HAGGETT P. (1973). L’analyse spatiale en géographie humaine, Paris, Armand Colin, 390 p.

FORRESTER J.W. (1979). Dynamique urbaine, Paris, Economica, 327 p.

LABORIT H. (1974). La nouvelle grille, coll. Libertés 2 000, Paris, Robert Laffont, 357 p.

LE BERRE M. (1984). "Pour une modélisation systémique de la différenciation spatiale", Géopoint 84 : systèmes et localisations, Groupe Dupont, Avignon, pp. 83-89.

LE BERRE M. (1987). "Itinéraire géographique, 20 ans après", Brouillons Dupont n°17, Avignon, 115 p.

LE MOIGNE J.-L. (1977). La théorie du système général, Théorie de la Modélisation, Paris, coll. Systèmes-Décisions, PUF.

de ROSNAY J. (1975). Le macrocope, Paris, Seuil

This article last updated Saturday 29 April 2006. by Cécile Tannier